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三角形ABC中,角C=90-AC=1,BC=2,求f(r)=(2rCA+(1-r)CB)。

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    由已知可以建立直接坐标系,以C点为原点,CA为x轴,CB为y轴,设向量CA=i,向量CB=2j2rCA+(1-r)CB=2ri+(1-r)*2j=2ri+(2-2r)j所以f(x)=2ri+(2-2r)j=[(2r)^2+(2-2r)^2]^(12)=(8r^2-8r+4)^(12)=[8(r-12)^2+2]^(12)当r=12时,f(r)取最小值,minf(r)=2^(12)=√2 或CA,CB相互垂直所以2rCA与(1-r)CB相互垂直所以2rCA+(1-r)CB就是直角三角形的斜边长(其中两直角边长分别为2rCA和(1-r)CB)所以 f(r)的平方= (2r*1)的平方+( (1-r)*2)的平方 =8r的平方-8r+4=2*(2r-1)的平方+2所以f(r)的平方小于或等于2最小值是根号2

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